Urodził się w rodzinie polskich emigrantów. Matka Maria spokrewniona była z błogosławionym biskupem Michałem Kozalem. W maju 1926 r. rodzina Jaskulskich powróciła do Polski i zamieszkał w Zdunach, pow. Krotoszyn (woj. poznańskie). Tam Franciszek ukończył 7-letnią szkole podstawową, a następnie seminarium nauczycielskie w Krotoszynie. W 1932 r. rozpoczął pracę w Urzędzie Gminy w Zdunach, a potem w Kobylinie. Służbę wojskową odbył w 17. Pułku Ułanów w Lesznie i ukończył ją w 1937 r. w stopniu plutonowego podchorążego. W 1935 r. ożenił się z Gertrudą Krüger, z którą miał córkę i dwóch synów. Prowadził działalność społeczną jako instruktor ZHP. Przed wybuchem II wojny światowej był harcmistrzem.

1 września 1939 r. zgłosił się na ochotnika do wojska i w kampanii polskiej walczył w szeregach 68 Pułku Piechoty. Brał udział w obronie Warszawy, a po jej kapitulacji dostał się do niewoli niemieckiej, skąd uciekł 7 października 1939 r. Powrócił do Zdun, gdzie zajął się organizowaniem struktur konspiracyjnych wśród młodzieży oraz nawiązał kontakt z dowództwem ZWZ. Wówczas skierowany został przez Niemców do pracy przymusowej na kolei jako robotnik budowlany (w tzw. Bauzugach). W 1942 r. gestapo rozpracowało tamtejszą siatkę konspiracyjną ZWZ, co zmusiło Jaskulskiego do ukrywania się. W tej sytuacji na wiosnę 1942 r. wyjechał na Lubelszczyznę do Stężycy (gm. Ryki), gdzie nawiązał kontakt z AK i włączył się w działalność sabotażowo-dywersyjną. Od 1943 r. był żołnierzem dowodzonego przez ppor. Mariana Sikorę „Przepiórkę” Oddziału Dyspozycyjnego (krypt. „Pilot”) działającego na terenie Inspektoratu Puławy AK. Na przełomie 1943 i 1944 r. stanął na czele pododdziału, zwanego od pseudonimu dowódcy Oddziałem Leśnym „Zagona”. Pełnił również funkcję zastępcy dowódcy Oddziału Dyspozycyjnego. W marcu 1944 r. Oddział Dyspozycyjny przestał funkcjonować w ramach Kedywu i stał się oddziałem partyzanckim. Na początku 1944 r. oddział Jaskulskiego liczył 35 żołnierzy, natomiast przed Akcją ”Burza” liczebność jego wzrosła do 80 osób. Przed wykonaniem akcji bojowych mobilizował też żołnierzy z siatki terenowej, co zwiększało jego liczebność do około 170 osób.

W okresie okupacji niemieckiej oddział „Zagona” przeprowadził co najmniej 23 akcje. Należały do nich m.in.: wykonanie w Dęblinie wyroku śmierci na komendancie kryminalnym z Ireny (Dęblina) Czesławie G., za współudział w eksterminacji ludności żydowskiej (9 III 1944); wykonanie wyroku śmierci na komendancie posterunku żandarmerii w Irenie (Dęblin) Christianie Petersowie (15 VI 1944); atak na majątek w Borowina i rozbrojenie 14 ostlegionistów pod Gołębiem (17 V 1944). Żołnierze tego oddziału urządzili też kilka innych udanych zasadzek na mniejsze patrole niemieckie i wiele akcji zaopatrzeniowych, jednak ich głównym polem działania była dywersja kolejowa.

Podczas Akcji „Burza” oddział Jaskulskiego został włączony do 2 kompanii 15 pp. „Wilków” AK i brał udział w walkach z wycofującymi się Niemcami w okolicach Kurowa oraz Końskowoli. W wyniku kilkugodzinnych walk partyzantom udało się wyprzeć Niemców z Końskowoli i zapobiec spacyfikowaniu miejscowości. Następnie oddział rozlokował się w Borysowie, gdzie 27 lipca przybyli przedstawiciele armii Berlinga i dokonali rozpoznania stacjonujących tam sił AK. Tego samego dnia do żołnierzy 15 pp. dotarła wiadomość o rozbrojeniu 27. Dywizji Wołyńskiej AK (25 lipca). W tej sytuacji żołnierze oddziału „Zagona” ukryli podstawowe uzbrojenie, pozostawiając przy sobie przestarzałą i uszkodzoną broń. W dnia 27–29 lipca Jaskulski wraz z M. Sikorą brał udział w spotkaniach z oficerami Armii Berlinga, podczas których zażądano od dowództwa AK rozbrojenia oddziałów. 29 lipca dowódcom udało się wymknąć i przedostać do podkomendnych. Nakazali oni żołnierzom pojedynczo uciekać z obozowiska. W połowie sierpnia 1944 r. Jaskulski ponownie zmobilizował swój oddział i pomaszerował na pomoc powstańczej Warszawie. Jednak NKWD aresztowało kilku żołnierzy wydobywających broń z ukrycia. Świadczyło to o tym, że sowieckie służby specjalne miały agenta. Kilka grup idących na pomoc Warszawie zostało zatrzymanych przez Sowietów i rozbrojonych. W tej sytuacji Jaskulski odwołał marsz i powrócił z żołnierzami na kwatery.

Franciszek Jaskulski został aresztowany przez UB 3 listopada 1944 r. w majątku Góry koło Nałęczowa i po przeprowadzonym procesie (8 stycznia 1945 r.) skazany na karę śmierci za udział w nielegalnej organizacji (za jaką uważano AK) i niewypełnienie obowiązku zgłoszenia się do czynnej szuby wojskowej. Na wykonanie wyroku czekał w więzieniu na Zamku Lubelskim. W styczniu 1945 r. wyrok śmierci został zamieniony na 10 lat pozbawienia wolności, którą odbywał w więzieniu we Wronkach skąd we wrześniu 1945 r. podjął udaną ucieczkę. Powrócił na Lubelszczyznę nawiązując ponowny kontakt z puławskimi strukturami konspiracyjnymi Zrzeszenia „Wolność i Niezawisłość”. Objął stanowisko referenta bezpieczeństwa w Podobwodzie B Puławy WiN. Następnie w listopadzie 1945 r. za rozkazem dowództwa przeszedł na zachodni brzeg Wisły, gdzie rozpoczął odbudowę struktur konspiracyjnych WiN. Wraz z liczącym sobie około 100 żołnierzy oddziałem Jaskulski szybko podporządkował sobie w woj. kieleckim powiaty: Kozienice, Radom, Iłża, a w woj. łódzkim: Końskie. Utworzony tam Związek Zbrojnej Konspiracji podporządkowany został Okręgowi Lublin WiN. W okresie największego rozwoju ZZK liczył od 1000 do 1200 żołnierzy. Oddziały ZZK przeprowadziły wiele akcji zbrojnych: opanowanie posterunku MO i fabryki prochu w Pionkach (12 I 1946), starcie z grupą operacyjną NKWD, UB i MO w Laskach i Ponikwie (18 II 1946), opanowanie Szydłowca (1 VI 1946) oraz Lipska (3 VII 1946), potyczka z grupą KBW pod Skaryszewem, w której został zlikwidowany dowódca wojsk KBW w woj. rzeszowski (18 VII 1946).

26 lipca 1946 r. na skutek zdrady Jaskulski został aresztowany w Jedlni Letnisku i przewieziony do gmachu WUBP w Kielcach. Prawdopodobnie we wrześniu zaczął przygotowywać się do ucieczki z więzienia w Kielcach, co wykryło UB. 17 stycznia 1947 r. Wojskowy Sąd Rejonowy w Kielcach skazał Jaskulskiego na karę śmierci, którego sentencję NSW utrzymał w mocy. Przed śmiercią Jerzy Jaskulski otrzymał możliwość skorzystania z posługi kapłańskiej. Do jego celi przybył ks. Kapralski, który wyspowiadał go i udzielił mu Komunii Świętej. Wyrok śmierci wykonano 19 lutego 1947 r. Ciało jego pochowane zostało w nieznanym dotychczas miejscu.