Pochodził z wielodzietnej rodziny chłopsko-robotniczej. Rodzice jego Michał i Franciszka posiadali razem 9 dzieci – 6 synów oraz 3 córki. Szkołę podstawową ukończył w Rykach, a następnie pracował na rodzinnym gospodarstwie. 13 lutego 1939 r. jako ochotnik wstąpił do Wojska Polskiego. Przydzielony został do 11 Dywizjonu Artylerii Przeciwlotniczej w Stężycy, gdzie objął stanowisko kierowcy ciągnika artyleryjskiego działa przeciwlotniczego „Bofors”. Od początku II wojny światowej uczestniczył w działaniach obronnych biorąc udział w szlaku bojowym 11 Dywizjonu, który zakończył się jej rozbiciem przez Niemców w rejonie pomiędzy Tomaszowem Lubelskim, a Zamościem. Wówczas Henryk Kultys, jak również wielu jego kolegów, znalazł się w trudnej sytuacji. Z jednej strony nadchodzili Niemcy, a z drugiej nacierała Armia Czerwona. Podjął wówczas decyzję o powrocie do rodzinnego domu, szczęśliwie zakończoną powodzeniem.

Już w listopadzie 1939 r., po złożeniu przysięgi przed Janem Kamińskim „Krokiem” – Komendantem Placówki w Rykach, wstąpił do organizacji konspiracyjnej Związek Walki Zbrojnej, w 1942 r. przemianowanego na Armię Krajową. Wraz z wieloma innymi kolegami podjął się prowadzenia tajnej działalności wymierzonej przeciwko okupantowi. Praca konspiracyjna polegała m.in. na zbieraniu broni pozostałej po Kleberczykach, gromadzeniu informacji o przeciwniku, czy kolportażu prasy konspiracyjnej. Także uczestniczył w wielu akcjach sabotażowych, tj. niszczenie maszyn omłotowych w majątkach niemieckich, w celu opóźnienia dostaw dla okupanta, a także w niszczeniu dokumentów w urzędach niemieckich, dotyczących wywózki Polaków do Rzeszy lub spraw kontyngentowych.

Gdy zakończyła się wojna Henryk Kultys nadal nie miał spokojnego życia. W listopadzie 1944 r. Henryk Kultys została aresztowany przez NKWD. Po kilkudniowym pobycie w areszcie w Rykach został przewieziony do wsi Gózdek koło Żelechowa, gdzie był więziony w ziemiance w nieludzkich warunkach, a podczas wielokrotnych przesłuchań bity. Zwolniony został po okresie 1 miesiąca, bez podania przyczyny. W późniejszym czasie był jeszcze dwukrotnie na krótki czas aresztowany w związku w referendum ludowym w 1946 r. i wyborami parlamentarnymi w 1947 r. Po wojnie na terenie Ryk i okolic wspomagała działalność żołnierzy podziemia antykomunistycznego skupionych w AK, a następnie w Zrzeszeniu „Wolność i Niezawisłość”.

W ramach represji za działalność Zygmunta Kultysa „Lisa” (brata Henryka) w oddziale AK-WiN mjr. Mariana Bernaciaka „Orlika”, władza ludowa 17 stycznia 1947 r. dokonała rekwizycji całego majątku rodziny Kultysów.

W 1945 r. Henryk Kultys założył w Rykach sklep pasmanteryjny, co jak później się okazało związało go na całe życie z zwodem handlowca. W 1950 r. rozpoczął pracę w PPRKiS w Rykach. W latach 1953–1954 pracował w Miejskim Przedsiębiorstwie Robot Budowlanych w Garwolinie, a 1954 r. podjął pracę w Gminnej Spółdzielni „SCh” w Rykach, którą kontynuował do przejścia na emeryturę w 1979 r.

Bardzo aktywnie włączył się w działalność Ochotniczej Straży Pożarnej w Rykach, wstępując w jej szeregi w 1940 r. Do zakończenia działalności strażackiej w 1990 r. pełnił przez wiele kadencji stanowisko skarbnika, a także przewodniczącego komisji rewizyjnej. Odznaczony był wieloma odznakami i medalami za sumienną pracę na rzecz pożarnictwa.

Od samego początku zaangażował się w tworzenie struktur Koła Światowego Związku Żołnierzy AK w Rykach, pełniąc funkcje członka Zarządu. Również prze wiele lat sprawował z godnością funkcje chorążego sztandaru Koła AK. Rozkazem Prezydenta RP z dniem 15 sierpnia 2008 r. mianowany na stopień kapitana WP w stanie spoczynku. W dniu 30 stycznia 2009 r. odznaczony Krzyżem Oficerskim Orderu Odrodzenia Polski.

Zmarł 1 maja 2015 r. Pochowany 3 maja na cmentarzu parafialnym w Rykach przy ulicy Królewskiej.